Matematyka: tablica maturalna – najważniejsze wzory i definicje

Karol Kucharski 2 maja 2026

Tablica maturalna z matematyki to nie „magiczna ściąga”, tylko zbiór narzędzi: definicji, wzorów i własności, które trzeba umieć dobrać do zadania. Ten materiał porządkuje najważniejsze treści na poziomie podstawowym i pokazuje, jak je rozumieć oraz kiedy stosować.

1) Podstawy: zbiory liczb, wartości bezwzględne, potęgi i pierwiastki

Najczęstsze zbiory liczb

\(\mathbb{N}\) – naturalne (często: \(0,1,2,\dots\))
\(\mathbb{Z}\) – całkowite (\(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\))
\(\mathbb{Q}\) – wymierne (\(\frac{p}{q}\), \(p,q\in\mathbb{Z}, q\neq 0\))
\(\mathbb{R}\) – rzeczywiste (oś liczbowa)

Wskazówka maturalna: gdy zadanie mówi „\(x\in\mathbb{R}\)”, zwykle wolno używać pierwiastków, ale trzeba pamiętać o dziedzinie (np. \(\sqrt{x}\Rightarrow x\ge 0\)).

Wartość bezwzględna

\[
|x|=\begin{cases}
x & \text{gdy } x\ge 0\\
-x & \text{gdy } x<0 \end{cases} \]

Interpretacja: \(|x|\) to odległość liczby \(x\) od zera na osi.

Typowe przekształcenia:

\(|x-a|\le r \iff a-r\le x\le a+r\)
\(|x-a|=r \iff x=a-r \ \text{lub}\ x=a+r\)
\(|x-a|\ge r \iff x\le a-r\ \text{lub}\ x\ge a+r\)

Potęgi i pierwiastki (najważniejsze własności)

\[
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq 0),\quad (a^m)^n=a^{mn}
\]

\[
(ab)^n=a^n b^n,\quad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq 0)
\]

\[
\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n},\quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\ \ (a\ge 0\ \text{dla parzystego }n)
\]

Uwaga o dziedzinie: \(\sqrt{x}\) istnieje w \(\mathbb{R}\) tylko dla \(x\ge 0\). Natomiast \(\sqrt[3]{x}\) istnieje dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

2) Procenty, proporcje i średnie (częste w zadaniach tekstowych)

Procenty

\(p\%\) z liczby \(x\) to \(\frac{p}{100}\cdot x\).
Zwiększenie o \(p\%\): \(x\mapsto x\left(1+\frac{p}{100}\right)\).
Zmniejszenie o \(p\%\): \(x\mapsto x\left(1-\frac{p}{100}\right)\).

Średnie

Średnia arytmetyczna: \(\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\)
Średnia ważona: \(\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+\cdots+w_nx_n}{w_1+\cdots+w_n}\)

Przykład (średnia ważona): jeśli sprawdzian ma wagę 2, kartkówka wagę 1, to wynik „ciągnie” bardziej sprawdzian.

3) Algebra: wzory skróconego mnożenia i rozkład na czynniki

Wzory skróconego mnożenia

\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]

\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]

\[
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\quad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\]

Jak to wykorzystać na maturze?

Do szybkiego mnożenia i upraszczania wyrażeń.
Do rozkładu na czynniki, np. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Do „polowania” na wspólny czynnik: \(ax+ay=a(x+y)\).

Mini-przykład: Uprość \( (x-2)^2-(x+2)(x-2)\).
\((x-2)^2=x^2-4x+4\), a \((x+2)(x-2)=x^2-4\). Różnica: \((x^2-4x+4)-(x^2-4)=-4x+8=-4(x-2)\).

4) Równania i nierówności (w tym kwadratowe)

Równanie liniowe

\[
ax+b=0\quad (a\neq 0)\Rightarrow x=-\frac{b}{a}
\]

Nierówności liniowe: rozwiązujesz jak równanie, ale pamiętaj:

Gdy mnożysz lub dzielisz stronami przez liczbę ujemną, znak nierówności się odwraca.

Równanie kwadratowe

\[
ax^2+bx+c=0\quad (a\neq 0)
\]

\[
\Delta=b^2-4ac
\]

\[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\ \ \text{(gdy }\Delta\ge 0\text{)}
\]

Interpretacja \(\Delta\):

\(\Delta>0\): dwa różne rozwiązania rzeczywiste
\(\Delta=0\): jedno (podwójne) rozwiązanie
\(\Delta<0\): brak rozwiązań w \(\mathbb{R}\)

Postać iloczynowa i miejsca zerowe

Jeśli \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), to:

miejsca zerowe: \(x_1\) i \(x_2\)
znak funkcji zależy od \(a\) i od tego, w jakim przedziale leży \(x\)

Typowe zadanie: rozwiąż nierówność kwadratową. Najczęściej: znajdź miejsca zerowe, narysuj schemat znaków (oś i plus/minus) i odczytaj przedziały.

5) Funkcje: definicje, własności, wykresy

Definicja funkcji

Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdemu \(x\) z dziedziny dokładnie jedną wartość \(f(x)\) (wartość w zbiorze wartości).

Dziedzina: \(D_f\)
Zbiór wartości: \(W_f\)
Miejsce zerowe: \(f(x)=0\)

Najczęstsze typy funkcji na maturze (podstawa)

Liniowa: \(f(x)=ax+b\)
Kwadratowa: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Wykładnicza: \(f(x)=a^x\) dla \(a>0, a\neq 1\)
Logarytmiczna: \(f(x)=\log_a x\) dla \(a>0, a\neq 1\), \(x>0\)

Funkcja liniowa – kluczowe własności

\[
f(x)=ax+b
\]

Współczynnik kierunkowy \(a\): mówi, czy wykres rośnie (\(a>0\)) czy maleje (\(a<0\)).
Wyraz wolny \(b\): punkt przecięcia z osią \(OY\) to \((0,b)\).
Miejsce zerowe (gdy \(a\neq 0\)): \(\displaystyle x_0=-\frac{b}{a}\).

Przykład: \(f(x)=2x-6\). Miejsce zerowe: \(2x-6=0\Rightarrow x=3\). Punkt na osi \(OY\): \((0,-6)\).

Funkcja kwadratowa – postacie i wierzchołek

Postać ogólna: \(\;f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna: \(\;f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(W=(p,q)\) to wierzchołek paraboli.

Wzory na wierzchołek z postaci ogólnej:

\[
p=-\frac{b}{2a},\quad q=f(p)=f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)
\]

Ramiona paraboli: w górę, gdy \(a>0\); w dół, gdy \(a<0\).

Prosty wykres: porównanie \(y=x\) i \(y=x^2\)

Wykres jest rysowany na Canvas (bez „ciężkich” detali). Powinien poprawnie skalować się do szerokości ekranu.

6) Trygonometria: kąty, definicje, wartości szczególne

Definicje w trójkącie prostokątnym (dla kąta ostrego \(\alpha\)):

\[
\sin\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}},\quad
\cos\alpha=\frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}},\quad
\tan\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}
\]

Najważniejsza tożsamość:

\[
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\]

Zależność tangensa:

\[
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad (\cos\alpha\neq 0)
\]

Stopnie i radiany:

\[
180^\circ=\pi,\quad 1^\circ=\frac{\pi}{180},\quad 1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}
\]

Tablica wartości szczególnych

Kąt	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
\(0^\circ\) (\(0\))	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(30^\circ\) (\(\pi/6\))	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\) (\(\pi/4\))	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
\(60^\circ\) (\(\pi/3\))	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac12\)	\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\) (\(\pi/2\))	\(1\)	\(0\)	nie istnieje

Dlaczego „nie istnieje”? \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), a dla \(90^\circ\) mamy \(\cos 90^\circ=0\), czyli dzielenie przez zero.

7) Geometria płaska: pola, obwody, twierdzenia

Najważniejsze wzory na pola

Figura	Pole	Wskazówka
Trójkąt	\(\displaystyle P=\frac12 ah\)	\(h\) to wysokość na bok \(a\).
Równoległobok	\(\displaystyle P=ah\)	To „prostokąt po pochyleniu”.
Trapez	\(\displaystyle P=\frac{(a+b)h}{2}\)	\(a,b\) – podstawy.
Koło	\(\displaystyle P=\pi r^2\)	Obwód: \(2\pi r\).

Twierdzenie Pitagorasa (w trójkącie prostokątnym)

\[
a^2+b^2=c^2
\]

gdzie \(c\) to przeciwprostokątna.

Najczęstszy schemat: gdy widzisz trójkąt prostokątny, sprawdź, czy da się policzyć brakujący bok z Pitagorasa, a potem np. pole lub \(\sin,\cos,\tan\).

Twierdzenie cosinusów (gdy nie ma kąta prostego)

\[
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
\]

Twierdzenie sinusów

\[
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R
\]

(\(R\) – promień okręgu opisanego na trójkącie)

8) Geometria przestrzenna: objętości i pola powierzchni

Bryła	Objętość	Najczęściej używane uwagi
Prostopadłościan	\(V=abc\)	Pole całkowite: \(2(ab+ac+bc)\)
Graniastosłup	\(V=P_p\cdot H\)	\(P_p\) – pole podstawy, \(H\) – wysokość
Ostrosłup	\(V=\frac13 P_p\cdot H\)	Uważaj: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy
Walec	\(V=\pi r^2 H\)	Pole boczne: \(2\pi rH\), całkowite: \(2\pi r^2+2\pi rH\)
Stożek	\(V=\frac13\pi r^2 H\)	Pole boczne: \(\pi r l\) (gdzie \(l\) – tworząca)
Kula	\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)	Pole: \(4\pi r^2\)

9) Ciągi: arytmetyczny i geometryczny (bardzo typowe)

Ciąg arytmetyczny

Różnica: \(\;r=a_{n+1}-a_n\)

\[
a_n=a_1+(n-1)r
\]

\[
S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}
\]

Jak rozpoznać? Kolejne wyrazy różnią się o stałą liczbę, np. \(3,7,11,15,\dots\).

Ciąg geometryczny

Iloraz: \(\;q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) (gdy \(a_n\neq 0\))

\[
a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}
\]

\[
S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)
\]

Jak rozpoznać? Kolejne wyrazy mnożą się przez stałą liczbę, np. \(2,6,18,54,\dots\) (tu \(q=3\)).

10) Logarytmy i wykładniki: definicje i własności

Logarytm – definicja

\[
\log_a b=c\iff a^c=b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0
\]

Najważniejsze własności

\[
\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y
\]

\[
\log_a \left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y
\]

\[
\log_a (x^k)=k\log_a x
\]

\[
\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}\quad (\text{zmiana podstawy})
\]

Najczęstszy błąd: \(\log(a+b)\neq \log a+\log b\). Własność dotyczy iloczynu, nie sumy.

11) Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Silnia

\[
n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n,\quad 0!=1
\]

Permutacje, wariacje, kombinacje

Permutacje \(n\) elementów: \(\;P(n)=n!\)
Wariacje bez powtórzeń: \(\;\displaystyle V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}\)
Kombinacje (wybór bez kolejności): \(\;\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Prawdopodobieństwo klasyczne

\[
P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}
\]

Dodawanie zdarzeń

\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\]

Wskazówka: gdy zdarzenia się wykluczają (\(A\cap B=\varnothing\)), to \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

12) Statystyka: mediana, dominanta, odchylenie standardowe (podstawa)

Średnia \(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)
Mediana – „środkowa” wartość po uporządkowaniu danych
Dominanta – wartość występująca najczęściej
Wariancja (często w tablicach): \(\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\)
Odchylenie standardowe: \(\displaystyle s=\sqrt{s^2}\)

Po co to jest? Średnia mówi o „poziomie”, a odchylenie o „rozrzucie” wyników.

13) Minimum, które warto znać z analizy (często w rozszerzeniu, ale bywa i na podstawie w kontekstach)

Granica i ciągłość (intuicyjnie): granica opisuje, do jakiej liczby „zbliża się” funkcja, gdy \(x\) zbliża się do danego punktu.

Pochodna (interpretacja): szybkość zmian funkcji, nachylenie stycznej.

Na poziomie podstawowym częściej spotkasz zadania „funkcja rośnie/maleje”, „gdzie jest największa/najmniejsza” w prostych przypadkach (np. parabola). Wtedy kluczowe są: wierzchołek i ramiona paraboli.

14) Kalkulator: równanie kwadratowe (Δ i pierwiastki)

Ten prosty kalkulator pomaga sprawdzić obliczenia dla równania \(\;ax^2+bx+c=0\). Podaj \(a,b,c\) i zobacz \(\Delta\) oraz rozwiązania w \(\mathbb{R}\).

a
b
c

Wynik pojawi się tutaj.

Jak używać mądrze? Kalkulator ma być kontrolą rachunków. Na maturze i tak musisz pokazać tok rozumowania: obliczyć \(\Delta\), potem \(x_{1,2}\) i zinterpretować wynik.

15) Jak się uczyć „z tablicą maturalną” (praktyczny schemat)

Nazwij temat zadania: procenty? równanie? geometria? funkcja?
Wybierz wzór i sprawdź, czy znasz znaczenie symboli (np. co jest wysokością, co promieniem).
Sprawdź warunki: dziedzina (pierwiastki, logarytmy), jednostki (cm, m), sens wyniku.
Policz i zinterpretuj: np. \(\Delta<0\) to informacja, a nie „koniec pracy” — trzeba napisać wniosek.
Kontrola: podstaw wynik do równania/funkcji lub oceń „czy to ma sens” (np. pole nie może wyjść ujemne).