Matematyka: tablica maturalna – najważniejsze wzory i definicje

Potęgi i pierwiastki (najważniejsze własności)

\[
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\neq 0),\quad (a^m)^n=a^{mn}
\]

\[
(ab)^n=a^n b^n,\quad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\neq 0)
\]

\[
\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n},\quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\ \ (a\ge 0\ \text{dla parzystego }n)
\]

Uwaga o dziedzinie: \(\sqrt{x}\) istnieje w \(\mathbb{R}\) tylko dla \(x\ge 0\). Natomiast \(\sqrt[3]{x}\) istnieje dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

Procenty

• \(p\%\) z liczby \(x\) to \(\frac{p}{100}\cdot x\).
• Zwiększenie o \(p\%\): \(x\mapsto x\left(1+\frac{p}{100}\right)\).
• Zmniejszenie o \(p\%\): \(x\mapsto x\left(1-\frac{p}{100}\right)\).

Średnie

• Średnia arytmetyczna: \(\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\)
• Średnia ważona: \(\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+\cdots+w_nx_n}{w_1+\cdots+w_n}\)

Przykład (średnia ważona): jeśli sprawdzian ma wagę 2, kartkówka wagę 1, to wynik „ciągnie” bardziej sprawdzian.

Wzory skróconego mnożenia

\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]

\[
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\]

\[
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\quad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\]

Jak to wykorzystać na maturze?

• Do szybkiego mnożenia i upraszczania wyrażeń.
• Do rozkładu na czynniki, np. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
• Do „polowania” na wspólny czynnik: \(ax+ay=a(x+y)\).

Mini-przykład: Uprość \( (x-2)^2-(x+2)(x-2)\).
\((x-2)^2=x^2-4x+4\), a \((x+2)(x-2)=x^2-4\). Różnica: \((x^2-4x+4)-(x^2-4)=-4x+8=-4(x-2)\).

Postać iloczynowa i miejsca zerowe

Jeśli \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), to:

• miejsca zerowe: \(x_1\) i \(x_2\)
• znak funkcji zależy od \(a\) i od tego, w jakim przedziale leży \(x\)

Typowe zadanie: rozwiąż nierówność kwadratową. Najczęściej: znajdź miejsca zerowe, narysuj schemat znaków (oś i plus/minus) i odczytaj przedziały.

Definicja funkcji

Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdemu \(x\) z dziedziny dokładnie jedną wartość \(f(x)\) (wartość w zbiorze wartości).

• Dziedzina: \(D_f\)
• Zbiór wartości: \(W_f\)
• Miejsce zerowe: \(f(x)=0\)

Najczęstsze typy funkcji na maturze (podstawa)

• Liniowa: \(f(x)=ax+b\)
• Kwadratowa: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
• Wykładnicza: \(f(x)=a^x\) dla \(a>0, a\neq 1\)
• Logarytmiczna: \(f(x)=\log_a x\) dla \(a>0, a\neq 1\), \(x>0\)

Funkcja liniowa – kluczowe własności

\[
f(x)=ax+b
\]

• Współczynnik kierunkowy \(a\): mówi, czy wykres rośnie (\(a>0\)) czy maleje (\(a<0\)).
• Wyraz wolny \(b\): punkt przecięcia z osią \(OY\) to \((0,b)\).
• Miejsce zerowe (gdy \(a\neq 0\)): \(\displaystyle x_0=-\frac{b}{a}\).

Przykład: \(f(x)=2x-6\). Miejsce zerowe: \(2x-6=0\Rightarrow x=3\). Punkt na osi \(OY\): \((0,-6)\).

Funkcja kwadratowa – postacie i wierzchołek

Postać ogólna: \(\;f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna: \(\;f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(W=(p,q)\) to wierzchołek paraboli.

Wzory na wierzchołek z postaci ogólnej:

\[
p=-\frac{b}{2a},\quad q=f(p)=f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)
\]

Ramiona paraboli: w górę, gdy \(a>0\); w dół, gdy \(a<0\).

Prosty wykres: porównanie \(y=x\) i \(y=x^2\)

Wykres jest rysowany na Canvas (bez „ciężkich” detali). Powinien poprawnie skalować się do szerokości ekranu.

Definicje w trójkącie prostokątnym (dla kąta ostrego \(\alpha\)):

\[
\sin\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}},\quad
\cos\alpha=\frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}},\quad
\tan\alpha=\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}
\]

Najważniejsza tożsamość:

\[
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
\]

Zależność tangensa:

\[
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad (\cos\alpha\neq 0)
\]

Stopnie i radiany:

\[
180^\circ=\pi,\quad 1^\circ=\frac{\pi}{180},\quad 1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}
\]

Tablica wartości szczególnych

Dlaczego „nie istnieje”? \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), a dla \(90^\circ\) mamy \(\cos 90^\circ=0\), czyli dzielenie przez zero.

Najważniejsze wzory na pola

Twierdzenie Pitagorasa (w trójkącie prostokątnym)

\[
a^2+b^2=c^2
\]

gdzie \(c\) to przeciwprostokątna.

Najczęstszy schemat: gdy widzisz trójkąt prostokątny, sprawdź, czy da się policzyć brakujący bok z Pitagorasa, a potem np. pole lub \(\sin,\cos,\tan\).

Twierdzenie cosinusów (gdy nie ma kąta prostego)

\[
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
\]

Twierdzenie sinusów

\[
\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R
\]

(\(R\) – promień okręgu opisanego na trójkącie)

Logarytm – definicja

\[
\log_a b=c\iff a^c=b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0
\]

Najważniejsze własności

\[
\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y
\]

\[
\log_a \left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y
\]

\[
\log_a (x^k)=k\log_a x
\]

\[
\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}\quad (\text{zmiana podstawy})
\]

Najczęstszy błąd: \(\log(a+b)\neq \log a+\log b\). Własność dotyczy iloczynu, nie sumy.

Silnia

\[
n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n,\quad 0!=1
\]

Permutacje, wariacje, kombinacje

• Permutacje \(n\) elementów: \(\;P(n)=n!\)
• Wariacje bez powtórzeń: \(\;\displaystyle V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}\)
• Kombinacje (wybór bez kolejności): \(\;\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Prawdopodobieństwo klasyczne

\[
P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}
\]

Dodawanie zdarzeń

\[
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\]

Wskazówka: gdy zdarzenia się wykluczają (\(A\cap B=\varnothing\)), to \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

• Średnia \(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)
• Mediana – „środkowa” wartość po uporządkowaniu danych
• Dominanta – wartość występująca najczęściej
• Wariancja (często w tablicach): \(\displaystyle s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\)
• Odchylenie standardowe: \(\displaystyle s=\sqrt{s^2}\)

Po co to jest? Średnia mówi o „poziomie”, a odchylenie o „rozrzucie” wyników.

Granica i ciągłość (intuicyjnie): granica opisuje, do jakiej liczby „zbliża się” funkcja, gdy \(x\) zbliża się do danego punktu.

Pochodna (interpretacja): szybkość zmian funkcji, nachylenie stycznej.

Na poziomie podstawowym częściej spotkasz zadania „funkcja rośnie/maleje”, „gdzie jest największa/najmniejsza” w prostych przypadkach (np. parabola). Wtedy kluczowe są: wierzchołek i ramiona paraboli.

Ten prosty kalkulator pomaga sprawdzić obliczenia dla równania \(\;ax^2+bx+c=0\). Podaj \(a,b,c\) i zobacz \(\Delta\) oraz rozwiązania w \(\mathbb{R}\).

Jak używać mądrze? Kalkulator ma być kontrolą rachunków. Na maturze i tak musisz pokazać tok rozumowania: obliczyć \(\Delta\), potem \(x_{1,2}\) i zinterpretować wynik.

1. Nazwij temat zadania: procenty? równanie? geometria? funkcja?
2. Wybierz wzór i sprawdź, czy znasz znaczenie symboli (np. co jest wysokością, co promieniem).
3. Sprawdź warunki: dziedzina (pierwiastki, logarytmy), jednostki (cm, m), sens wyniku.
4. Policz i zinterpretuj: np. \(\Delta<0\) to informacja, a nie „koniec pracy” — trzeba napisać wniosek.
5. Kontrola: podstaw wynik do równania/funkcji lub oceń „czy to ma sens” (np. pole nie może wyjść ujemne).