Twierdzenie Talesa – zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie Talesa jest jednym z najważniejszych narzędzi w geometrii szkolnej. Pozwala rozwiązywać wiele zadań z proporcjami w trójkątach i odcinkach, często bez użycia skomplikowanej trygonometrii. W tym artykule wyjaśnimy, na czym polega twierdzenie Talesa, jak je rozpoznać w zadaniu, jak zapisywać odpowiednie proporcje oraz przećwiczymy to na wielu przykładowych zadaniach z pełnymi rozwiązaniami.

Twierdzenie Talesa – wersja „o odcinkach proporcjonalnych”

W polskiej szkole najczęściej korzysta się z tej wersji twierdzenia Talesa:

Jeżeli dwie proste są równoległe i przecinają ramiona kąta, to wyznaczają na tych ramionach odcinki proporcjonalne.

Wyobraź sobie kąt o wierzchołku \(A\). Na jednym ramieniu zaznaczamy punkty \(B\) i \(C\), a na drugim ramieniu punkty \(D\) i \(E\), tak że odcinek \(BE\) jest równoległy do odcinka \(CD\). Wtedy zachodzi zależność:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} \]

Czyli stosunek odcinków na jednym ramieniu kąta jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Twierdzenie Talesa w trójkącie

Najczęściej jednak używamy innej, bardzo praktycznej wersji:

Jeżeli w trójkącie poprowadzimy prostą równoległą do jednego z boków, przecinającą dwa pozostałe boki, to ta prosta dzieli je na odcinki proporcjonalne.

Rozważmy trójkąt \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybieramy odpowiednio punkty \(D\) i \(E\) tak, aby prosta \(DE\) była równoległa do boku \(BC\). Wtedy mamy:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \quad \text{oraz} \quad \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. \]

To właśnie te proporcje najczęściej wykorzystujemy w zadaniach.

Prosty rysunek – trójkąt z prostą równoległą (Canvas)

Poniżej znajduje się prosty schemat trójkąta z zaznaczoną prostą równoległą do jednego z boków. Rysunek jest jedynie poglądowy, ma pomóc zrozumieć układ odcinków.

Podstawowy schemat proporcji w twierdzeniu Talesa

Większość zadań z twierdzenia Talesa sprowadza się do ustawienia i rozwiązania proporcji. Najczęściej mamy sytuację typu:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]

albo

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}. \]

Uogólniając, wiele przykładów można sprowadzić do takiej proporcji:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x}, \]

gdzie \(x\) jest szukaną długością odcinka, a \(a\), \(b\), \(c\) to odcinki znane z treści zadania.

Wtedy, korzystając z własności proporcji, mamy:

\[ x = \frac{b \cdot c}{a}. \]

Tabela – jak czytać proporcję

Poniższa tabela ilustruje przykładowy zapis proporcji i to, co z niej obliczamy.

Prosty kalkulator proporcji z twierdzenia Talesa

Poniższy kalkulator pomaga obliczyć brakujący odcinek \(x\) w proporcji

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{b \cdot c}{a}. \]

Wpisz znane długości (w tych samych jednostkach, np. cm), a kalkulator obliczy \(x\).

Jak rozpoznać, że w zadaniu można użyć twierdzenia Talesa?

Wypatruj w treści zadania następujących elementów:

• Jest trójkąt, a w nim narysowano prostą równoległą do jednego z boków, przecinającą dwa pozostałe boki.
• Jest kąt, a na jego ramionach zaznaczono kilka punktów i podano, że któreś odcinki są równoległe.
• Pojawiają się słowa: „prosta równoległa”, „dzieli boki proporcjonalnie”, „stosunek odcinków”.
• Dane są kilka długości odcinków i prosi się o obliczenie kolejnej długości, bez używania kątów.

Jeżeli w zadaniu występuje trójkąt i prosta równoległa do jednego z jego boków – jest bardzo duża szansa, że chodzi właśnie o zastosowanie twierdzenia Talesa.

Wyprowadzenie twierdzenia Talesa (intuicyjne)

Dlaczego to w ogóle działa? Krótkie wyjaśnienie (w wersji szkolnej):

1. Jeśli w trójkącie poprowadzimy prostą równoległą do jednego z boków, to powstaje mniejszy trójkąt podobny do całego trójkąta (ma takie same kąty).
2. W trójkątach podobnych odpowiadające sobie boki są w stałym stosunku.
3. Z tego wynika, że stosunki odpowiednich odcinków (np. części boków) są równe – czyli odcinki są proporcjonalne.

Formalny dowód opiera się na pojęciu podobieństwa trójkątów, ale do rozwiązywania zadań wystarczy znać samą zależność proporcji.

Przykładowe zadania z twierdzenia Talesa – z rozwiązaniami

Zadanie 1 – podstawowe obliczenie odcinka

Treść:
W trójkącie \(ABC\) na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\) tak, że \(DE \parallel BC\). Długości odcinków są następujące: \(AD = 3\ \text{cm}\), \(AB = 5\ \text{cm}\), \(AE = 4\ \text{cm}\). Oblicz długość odcinka \(AC\).

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Z rysunku (lub z treści) wiemy, że \(DE \parallel BC\), więc możemy zastosować twierdzenie Talesa:

   \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}. \]

2. Podstawiamy dane liczbowe:

   \[ \frac{3}{5} = \frac{4}{AC}. \]

3. Traktujemy to jako proporcję \(\frac{a}{b} = \frac{c}{x}\), gdzie:
   • \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 4\), \(x = AC\).

   Zatem:

   \[ AC = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\ \text{cm}. \]

4. Odpowiedź: \(AC = \frac{20}{3}\ \text{cm} \approx 6{,}67\ \text{cm}.\)

Zadanie 2 – proporcja z częściami boków

Treść:
W trójkącie \(ABC\) prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) odpowiednio w punktach \(D\) i \(E\). Wiadomo, że \(AD = 4\ \text{cm}\), \(DB = 6\ \text{cm}\), \(AE = 5\ \text{cm}\). Oblicz długość odcinka \(EC\).

Rozwiązanie:

1. Z treści: \(DE \parallel BC\), więc według twierdzenia Talesa:

   \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}. \]

2. Podstawiamy dane:

   \[ \frac{4}{6} = \frac{5}{EC}. \]

   Uprośćmy ułamek:

   \[ \frac{2}{3} = \frac{5}{EC}. \]

3. Z proporcji:

   \[ EC = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5\ \text{cm}. \]

4. Odpowiedź: \(EC = 7{,}5\ \text{cm}.\)

Zadanie 3 – obliczenie brakującego fragmentu boku

Treść:
W trójkącie \(ABC\) prosta równoległa do \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) w punktach \(D\) i \(E\). Wiadomo, że \(AB = 9\ \text{cm}\), \(AD = 6\ \text{cm}\), a cały bok \(AC = 12\ \text{cm}\). Oblicz długość odcinka \(AE\).

Rozwiązanie:

1. Z twierdzenia Talesa (używamy proporcji całych boków):

   \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}. \]

2. Podstawiamy:

   \[ \frac{6}{9} = \frac{AE}{12}. \]

   Uprośćmy ułamek:

   \[ \frac{2}{3} = \frac{AE}{12}. \]

3. Stosując proporcję:

   \[ AE = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\ \text{cm}. \]

4. Odpowiedź: \(AE = 8\ \text{cm}.\)

Zadanie 4 – dwa odcinki na jednym ramieniu kąta

Treść:
Na ramionach kąta o wierzchołku \(O\) leżą punkty \(A, B\) na jednym ramieniu oraz \(C, D\) na drugim ramieniu, tak że \(AB \parallel CD\). Dane są długości: \(OA = 2\ \text{cm}\), \(OB = 5\ \text{cm}\), \(OC = 3\ \text{cm}\). Oblicz długość odcinka \(OD\).

Rozwiązanie:

1. Z twierdzenia Talesa (dla kąta):

   \[ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}. \]

2. Podstawiamy znane wartości:

   \[ \frac{2}{5} = \frac{3}{OD}. \]

3. Z proporcji:

   \[ OD = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5\ \text{cm}. \]

4. Odpowiedź: \(OD = 7{,}5\ \text{cm}.\)

Zadanie 5 – wykorzystanie stosunku podobieństwa trójkątów

Treść:
W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość \(10\ \text{cm}\). Przez punkt \(D\) leżący na boku \(AB\) poprowadzono prostą równoległą do \(BC\), która przecina bok \(AC\) w punkcie \(E\). Odcinek \(AD\) ma długość \(3\ \text{cm}\), a cały bok \(AB = 5\ \text{cm}\). Oblicz długość odcinka \(DE\).

Rozwiązanie:

1. Wiemy, że \(DE \parallel BC\), więc trójkąt \(ADE\) jest podobny do trójkąta \(ABC\).
2. Stosunek podobieństwa (małego trójkąta do dużego) możemy wyznaczyć ze stosunku odpowiednich boków:

   \[ k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}. \]

3. Odcinek \(DE\) odpowiada odcinkowi \(BC\) w dużym trójkącie, więc:

   \[ \frac{DE}{BC} = k = \frac{3}{5}. \]

4. Podstawiamy \(BC = 10\ \text{cm}\):

   \[ \frac{DE}{10} = \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad DE = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6\ \text{cm}. \]

5. Odpowiedź: \(DE = 6\ \text{cm}.\)

Zadanie 6 – odwrotne zastosowanie twierdzenia Talesa

Treść:
W trójkącie \(ABC\) na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\). Okazało się, że
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\). Uzasadnij, że prosta \(DE\) jest równoległa do boku \(BC\).

Rozwiązanie (idea):

1. Twierdzenie Talesa ma również odwrotną wersję:
   • Jeżeli punkty na bokach trójkąta dzielą je w tych samych proporcjach, to prosta łącząca te punkty jest równoległa do trzeciego boku.
2. W zadaniu mamy dokładnie warunek proporcji:

   \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}. \]

3. Z odwrotności twierdzenia Talesa wnioskujemy, że prosta \(DE\) musi być równoległa do \(BC\).
4. Wniosek: \(DE \parallel BC.\)

Najczęstsze błędy przy stosowaniu twierdzenia Talesa

• Mylenie odpowiadających sobie odcinków – w proporcji zawsze zestawiaj odcinki należące do tych samych ramion kąta lub tych samych boków trójkątów.
• Pomijanie informacji o równoległości – twierdzenie Talesa działa, gdy proste są równoległe. Bez tego warunku nie wolno zakładać proporcji.
• Niepełne dane – zanim ułożysz proporcję, sprawdź czy masz trzy znane długości i jedną szukaną. Często trzeba najpierw obliczyć brakującą część boku (np. \(AB = AD + DB\)).
• Brak jednostek – wszystkie długości muszą być w tych samych jednostkach (np. wszystko w cm lub wszystko w m).

Jak stosować twierdzenie Talesa – podsumowanie kroków

1. Zrób rysunek (lub przerysuj dany) i zaznacz wszystkie długości.
2. Sprawdź, gdzie występuje prosta równoległa i jakie trójkąty/odcinki porównujesz.
3. Ustal, które odcinki są do siebie „odpowiadające” (np. leżą na tych samych bokach w dwóch trójkątach).
4. Ułóż proporcję – zwykle w postaci:

   \[ \frac{\text{odcinek w małym trójkącie}}{\text{odpowiedni odcinek w dużym trójkącie}} = \frac{\text{inny odcinek w małym}}{\text{odpowiedni odcinek w dużym}}. \]

5. Podstaw dane, rozwiąż równanie (proporcję), oblicz szukaną długość.
6. Sprawdź, czy wynik jest realistyczny (np. odcinek nie może być dłuższy niż cały bok, jeśli ma być jego częścią).

Po przećwiczeniu kilku zadań stosowanie twierdzenia Talesa staje się bardzo naturalne – wystarczy rozpoznać odpowiedni układ (trójkąt + prosta równoległa) i spokojnie ułożyć właściwą proporcję.