Ciągi – wzory, przykłady i zadania

Ciągi liczbowe to jedno z najważniejszych zagadnień w matematyce na poziomie szkoły podstawowej i średniej. Pojawiają się w zadaniach tekstowych, w analizie funkcji, w rachunku prawdopodobieństwa, a nawet w ekonomii czy informatyce. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym są ciągi, jak je zapisywać, jak liczyć kolejne wyrazy oraz jak rozpoznawać i rozwiązywać zadania z ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi.

Co to jest ciąg liczbowy?

Ciąg liczbowy to uporządkowany zbiór liczb, w którym każdy element ma swoje miejsce (numer). Przykład prostego ciągu:

\[ 2,\; 4,\; 6,\; 8,\; 10,\; \dots \]

Każda liczba w ciągu nazywa się wyrazem ciągu, a jej numer to numer wyrazu.

• \(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu,
• \(a_2\) – drugi wyraz ciągu,
• \(a_3\) – trzeci wyraz ciągu,
• \(\dots\)
• \(a_n\) – \(n\)-ty (dowolny) wyraz ciągu.

Ciąg najczęściej zapisujemy w postaci:

\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad \text{lub po prostu} \quad (a_n). \]

Różne sposoby opisu ciągu

Ciąg można opisać na kilka sposobów. Zrozumienie tych opisów jest kluczem do rozwiązywania zadań.

1. Opis słowny

Na przykład:

„Ciąg liczb parzystych dodatnich”

Możemy go zapisać jako:

\[ 2,\; 4,\; 6,\; 8,\; 10,\; \dots \]

2. Tabela wartości

\(n\)	1	2	3	4	5
\(a_n\)	2	4	6	8	10

3. Wzór na wyraz ogólny (wzór jawny)

Możemy znaleźć wzór, który dla dowolnego numeru \(n\) podaje wartość \(a_n\). Dla ciągu liczb parzystych dodatnich:

\[ a_n = 2n. \]

Sprawdźmy:

• \(a_1 = 2\cdot 1 = 2\),
• \(a_2 = 2\cdot 2 = 4\),
• \(a_3 = 2\cdot 3 = 6\) itd.

4. Wzór rekurencyjny

Wzór rekurencyjny mówi, jak z poprzedniego wyrazu otrzymać następny. Dla tego samego ciągu:

\[
\begin{cases}
a_1 = 2, \\
a_{n} = a_{n-1} + 2 \quad \text{dla } n \ge 2.
\end{cases}
\]

Czyli aby otrzymać kolejny wyraz, dodajemy 2.

Podstawowe typy ciągów liczbowych

W programie szkolnym najważniejsze są dwa typy ciągów:

• ciąg arytmetyczny,
• ciąg geometryczny.

Spotkamy też inne, np. ciąg stały czy ciąg Fibonacciego, ale skupimy się przede wszystkim na dwóch głównych typach.

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę stałą różnicę oznaczamy przez \(r\) i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Definicja ciągu arytmetycznego

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, jeśli dla każdego \(n \ge 2\):

\[ a_n – a_{n-1} = r = \text{stała liczba}. \]

Inaczej mówiąc, każdy kolejny wyraz otrzymujemy, dodając tę samą liczbę:

\[ a_n = a_{n-1} + r. \]

Przykłady ciągów arytmetycznych

1. \(2,\; 5,\; 8,\; 11,\; 14,\; \dots\) – różnica \(r = 3\).
2. \(10,\; 7,\; 4,\; 1,\; -2,\; \dots\) – różnica \(r = -3\) (ciąg malejący).
3. \(4,\; 4,\; 4,\; 4,\; \dots\) – różnica \(r = 0\) (ciąg stały).

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Najważniejszy wzór, który trzeba znać:

\[ a_n = a_1 + (n-1)r. \]

Interpretacja:

• zaczynamy od pierwszego wyrazu \(a_1\),
• \(n-1\) razy dodajemy różnicę \(r\).

Przykład 1

Niech \((a_n)\) będzie ciągiem arytmetycznym takim, że:

• \(a_1 = 3\),
• \(r = 5\).

Oblicz \(a_4\) i \(a_{10}\).

Rozwiązanie:

Używamy wzoru:\[ a_n = a_1 + (n-1)r. \]

Dla \(n=4\):

\[ a_4 = 3 + (4-1)\cdot 5 = 3 + 3\cdot 5 = 3 + 15 = 18. \]

Dla \(n=10\):

\[ a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 9\cdot 5 = 3 + 45 = 48. \]

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

Jeśli chcemy policzyć sumę pierwszych \(n\) wyrazów:

\[ S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n, \]

to obowiązuje wzór:

\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}. \]

Możemy też użyć wersji ze znanym \(a_1\) i \(r\):

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n. \]

Przykład 2

Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(a_1 = 5\) i różnicę \(r = 3\). Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów.

Krok 1 – znajdź \(a_6\):

\[ a_6 = a_1 + (6-1)r = 5 + 5\cdot 3 = 5 + 15 = 20. \]

Krok 2 – użyj wzoru na sumę:

\[ S_6 = \frac{(a_1 + a_6)\cdot 6}{2} = \frac{(5 + 20)\cdot 6}{2} = \frac{25\cdot 6}{2} = 75. \]

Suma pierwszych 6 wyrazów jest równa 75.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Tę stałą liczbę oznaczamy przez \(q\) i nazywamy ilorem ciągu geometrycznego.

Definicja ciągu geometrycznego

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, jeśli dla każdego \(n \ge 2\) i \(a_{n-1} \ne 0\):

\[ \frac{a_n}{a_{n-1}} = q = \text{stała liczba}. \]

Inaczej mówiąc, każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc przez tę samą liczbę:

\[ a_n = a_{n-1}\cdot q. \]

Przykłady ciągów geometrycznych

1. \(3,\; 6,\; 12,\; 24,\; 48,\; \dots\) – iloraz \(q = 2\).
2. \(81,\; 27,\; 9,\; 3,\; 1,\; \dots\) – iloraz \(q = \frac{1}{3}\).
3. \(5,\; -5,\; 5,\; -5,\; \dots\) – iloraz \(q = -1\) (ciąg naprzemienny, zmienia znak).

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Najważniejszy wzór:

\[ a_n = a_1\cdot q^{\,n-1}. \]

Przykład 3

Ciąg geometryczny ma:

• \(a_1 = 2\),
• \(q = 3\).

Oblicz \(a_4\) i \(a_6\).

Rozwiązanie:

Dla \(n=4\):

\[ a_4 = 2\cdot 3^{4-1} = 2\cdot 3^{3} = 2\cdot 27 = 54. \]

Dla \(n=6\):

\[ a_6 = 2\cdot 3^{6-1} = 2\cdot 3^{5} = 2\cdot 243 = 486. \]

Suma pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego

Dla ilorazu \(q \ne 1\):

\[ S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1\cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}. \]

Gdy \(0 < q < 1\), wyrazy maleją i suma szybko „stabilizuje się” (zbliża do pewnej wartości).

Przykład 4

Ciąg geometryczny ma \(a_1 = 5\) i \(q = 2\). Oblicz sumę pierwszych 4 wyrazów.

Krok 1 – wypisz ciąg (tylko pomocniczo):

\[ 5,\; 10,\; 20,\; 40,\; \dots \]

Krok 2 – użyj wzoru:

\[ S_4 = 5\cdot \frac{1 – 2^{4}}{1 – 2} = 5\cdot \frac{1 – 16}{-1} = 5\cdot \frac{-15}{-1} = 5\cdot 15 = 75. \]

Jak rozpoznać typ ciągu?

Aby rozpoznać, z jakim ciągiem mamy do czynienia, warto policzyć:

• różnice między kolejnymi wyrazami: \(a_2 – a_1\), \(a_3 – a_2\), \(a_4 – a_3\)…
• ilorazy kolejnych wyrazów: \(\frac{a_2}{a_1}\), \(\frac{a_3}{a_2}\), \(\frac{a_4}{a_3}\)…

Jeśli różnice są stałe – ciąg arytmetyczny. Jeśli ilorazy są stałe – ciąg geometryczny.

Przykład 5

Dany jest ciąg: \(4,\; 7,\; 10,\; 13,\; \dots\). Jaki to typ ciągu?

Różnice:

• \(7 – 4 = 3\),
• \(10 – 7 = 3\),
• \(13 – 10 = 3\).

Różnice są stałe (3), więc to ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = 3\).

Przykład 6

Dany jest ciąg: \(2,\; 6,\; 18,\; 54,\; \dots\). Jaki to typ ciągu?

Ilorazy:

• \(\frac{6}{2} = 3\),
• \(\frac{18}{6} = 3\),
• \(\frac{54}{18} = 3\).

Ilorazy są stałe (3), więc to ciąg geometryczny o ilorazie \(q = 3\).

Prosty wykres ciągu arytmetycznego

Ciąg można zobaczyć na wykresie jako punkty o współrzędnych \((n, a_n)\). Poniżej wykres pierwszych 8 wyrazów ciągu arytmetycznego \(a_n = 2 + 3(n-1)\), czyli \(2, 5, 8, 11, \dots\).

Inne przykłady ciągów

Ciąg stały

Każdy wyraz jest taki sam, np.:

\[ 5,\; 5,\; 5,\; 5,\; \dots \]

To jednocześnie:

• ciąg arytmetyczny z różnicą \(r = 0\),
• ciąg geometryczny z ilorazem \(q = 1\) (jeśli \(a_1 \ne 0\)).

Ciąg naprzemienny

Ciąg, w którym zmienia się znak:

\[ 1,\; -1,\; 1,\; -1,\; 1,\; -1,\; \dots \]

Można go zapisać wzorem:

\[ a_n = (-1)^{n-1}. \]

Ciąg Fibonacciego

Bardzo znany ciąg, definiowany rekurencyjnie:

\[
\begin{cases}
F_1 = 1,\; F_2 = 1, \\
F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad \text{dla } n \ge 3.
\end{cases}
\]

Pierwsze wyrazy:

\[ 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; \dots \]

Nie jest to ani ciąg arytmetyczny, ani geometryczny – to inny typ ciągu, ale świetny przykład definicji rekurencyjnej.

Prosty kalkulator ciągów arytmetycznych i geometrycznych

Poniższy kalkulator pomaga obliczyć n-ty wyraz oraz sumę pierwszych \(n\) wyrazów dla ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Wystarczy podać odpowiednie dane.

Typowe zadania z ciągami – omówione przykłady

Zadanie 1 – rozpoznanie typu ciągu i wzór ogólny

Dany jest ciąg: \(5,\; 9,\; 13,\; 17,\; \dots\).

1. Sprawdź, czy to ciąg arytmetyczny, czy geometryczny.
2. Podaj wzór na \(a_n\).
3. Oblicz \(a_{20}\).

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1 – oblicz różnice:

• \(9 – 5 = 4\),
• \(13 – 9 = 4\),
• \(17 – 13 = 4\).

Różnice są stałe i równe 4, więc to ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = 4\).

Krok 2 – wzór na \(a_n\):

Mamy \(a_1 = 5\), \(r = 4\), więc:

\[ a_n = a_1 + (n-1)r = 5 + (n-1)\cdot 4. \]

Możemy uprościć:

\[ a_n = 5 + 4n – 4 = 4n + 1. \]

Krok 3 – oblicz \(a_{20}\):

\[ a_{20} = 4\cdot 20 + 1 = 80 + 1 = 81. \]

Zadanie 2 – suma ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(a_1 = 7\) i różnicę \(r = 2\). Oblicz sumę pierwszych 15 wyrazów.

Rozwiązanie:

Krok 1 – znajdź \(a_{15}\):

\[ a_{15} = a_1 + (15-1)r = 7 + 14\cdot 2 = 7 + 28 = 35. \]

Krok 2 – użyj wzoru na sumę:

\[ S_{15} = \frac{(a_1 + a_{15})\cdot 15}{2} = \frac{(7 + 35)\cdot 15}{2} = \frac{42\cdot 15}{2} = 21\cdot 15 = 315. \]

Zadanie 3 – wyznaczanie ilorazu w ciągu geometrycznym

W ciągu geometrycznym dany jest pierwszy wyraz \(a_1 = 3\) oraz czwarty wyraz \(a_4 = 81\). Znajdź iloraz \(q\) i n-ty wyraz \(a_n\).

Rozwiązanie:

Krok 1 – zapisz wzór na czwarty wyraz:

\[ a_4 = a_1\cdot q^{3}. \]

Podstawiamy dane:

\[ 81 = 3\cdot q^{3}. \]

Dzielimy obie strony przez 3:

\[ 27 = q^{3}. \]

Czyli:

\[ q = 3. \]

Krok 2 – wzór na \(a_n\):

\[ a_n = a_1\cdot q^{n-1} = 3\cdot 3^{n-1}. \]

Można też zapisać jako:

\[ a_n = 3^{n}. \]

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Spróbuj rozwiązać poniższe zadania samodzielnie. Możesz korzystać z kalkulatora powyżej, żeby sprawdzić wyniki.

Zadanie A

Dany jest ciąg: \(1,\; 4,\; 7,\; 10,\; \dots\).

1. Jaki to typ ciągu?
2. Podaj wzór na \(a_n\).
3. Oblicz \(a_{25}\).

Zadanie B

Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(a_1 = -2\) i różnicę \(r = 5\).

1. Wypisz pierwsze 5 wyrazów.
2. Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów.

Zadanie C

Dany jest ciąg geometryczny: \(5,\; 10,\; 20,\; 40,\; \dots\).

1. Podaj iloraz \(q\).
2. Podaj wzór na \(a_n\).
3. Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów.

Zadanie D

W ciągu geometrycznym \(a_2 = 12\) i \(a_4 = 108\).

1. Wyznacz iloraz \(q\).
2. Znajdź \(a_1\).
3. Podaj wzór na \(a_n\).

Podsumowanie – najważniejsze wzory

Rodzaj	Wzór na \(a_n\)	Suma \(S_n\)	Parametry
Ciąg arytmetyczny	\(a_n = a_1 + (n-1)r\)	\(S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\) lub \(S_n = \dfrac{(2a_1 + (n-1)r)\cdot n}{2}\)	\(a_1\) – pierwszy wyraz, \(r\) – różnica
Ciąg geometryczny	\(a_n = a_1\cdot q^{\,n-1}\)	\(S_n = a_1\cdot \dfrac{1 – q^{n}}{1 – q}\) dla \(q \ne 1\) oraz \(S_n = a_1\cdot n\) dla \(q = 1\)	\(a_1\) – pierwszy wyraz, \(q\) – iloraz

Znajomość tych definicji oraz wzorów na n-ty wyraz i sumę pozwoli rozwiązać zdecydowaną większość szkolnych zadań z ciągami liczbowymi. Ćwicz rozpoznawanie typu ciągu po kilku pierwszych wyrazach oraz przekształcanie wzorów. Dzięki temu ciągi staną się dla Ciebie intuicyjne i łatwe w użyciu w dalszej nauce matematyki.