Geometria analityczna – wzory najważniejszych zależności

Geometria analityczna łączy algebrę z geometrią. Zamiast rysować „na oko”, zapisujemy obiekty geometryczne (punkty, proste, okręgi) za pomocą równań i wzorów. Dzięki temu możemy dokładnie liczyć długości, kąty, sprawdzać równoległość czy prostopadłość prostych.

Układ współrzędnych i punkt na płaszczyźnie

Podstawą geometrii analitycznej jest układ współrzędnych (układ kartezjański). Wyróżniamy:

• oś poziomą – oś \(x\),
• oś pionową – oś \(y\),
• punkt przecięcia osi – początek układu współrzędnych \((0,0)\).

Punkt na płaszczyźnie opisujemy parą liczb:

\[ P = (x,y) \]

gdzie \(x\) to współrzędna pozioma (odległość od osi \(y\)), a \(y\) to współrzędna pionowa (odległość od osi \(x\)).

Odległość między dwoma punktami

Jednym z podstawowych wzorów w geometrii analitycznej jest wzór na odległość między punktami \(A(x_1,y_1)\) i \(B(x_2,y_2)\). Wyprowadza się go z twierdzenia Pitagorasa.

Wzór na odległość między punktami:

\[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]

Interpretacja:

• \(x_2 – x_1\) – „różnica pozioma” (jak bardzo punkt B jest w prawo/lewo od A),
• \(y_2 – y_1\) – „różnica pionowa” (jak bardzo punkt B jest w górę/w dół od A),
• tworzą one boki prostokątnego trójkąta, a odległość \(d(A,B)\) jest jego przeciwprostokątną.

Przykład 1 – obliczanie odległości

Niech \(A = (1,2)\) i \(B = (5,5)\). Obliczamy:

\[
\begin{aligned}
d(A,B) &= \sqrt{(5 – 1)^2 + (5 – 2)^2} \\
&= \sqrt{4^2 + 3^2} \\
&= \sqrt{16 + 9} \\
&= \sqrt{25} = 5.
\end{aligned}
\]

Czyli odległość między punktami A i B wynosi 5 jednostek.

Przykład 2 – odległość na osi poziomej

Jeżeli punkty różnią się tylko współrzędną \(x\), np. \(A = (2,3)\), \(B = (7,3)\):

\[
d(A,B) = \sqrt{(7-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{5^2 + 0} = 5.
\]

Czyli odległość jest po prostu różnicą współrzędnych \(x\).

Prosty kalkulator odległości między punktami

Poniżej znajdziesz prosty kalkulator, który obliczy odległość między dwoma punktami \(A(x_1,y_1)\) i \(B(x_2,y_2)\) oraz dodatkowo współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty i współrzędne punktu środkowego odcinka \(AB\).

Wektory w geometrii analitycznej

Wektor to „strzałka” mająca:

• kierunek,
• zwrot,
• długość.

Współrzędne wektora \(\vec{v}\) wyznaczamy jako „koniec minus początek”. Jeżeli:

• początek: \(A(x_1,y_1)\),
• koniec: \(B(x_2,y_2)\),

to wektor \(\vec{AB}\) ma współrzędne:

\[ \vec{AB} = (x_2 – x_1,\; y_2 – y_1). \]

Długość wektora

Długość wektora \(\vec{v} = (v_x, v_y)\) liczymy tak samo jak odległość między punktami:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. \]

Przykład – wektor i jego długość

Dane są punkty \(A = (1, -2)\) oraz \(B = (4, 2)\).

\[
\begin{aligned}
\vec{AB} &= (4-1,\; 2-(-2)) = (3, 4),\\
|\vec{AB}| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
\end{aligned}
\]

Operacje na wektorach

• Dodawanie wektorów:
  \[
  \vec{u} = (u_x, u_y),\quad \vec{v} = (v_x, v_y) \Rightarrow
  \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x,\; u_y + v_y).
  \]
• Mnożenie wektora przez liczbę (skalar):
  \[
  k \cdot \vec{v} = (k v_x,\; k v_y).
  \]

Prosta w geometrii analitycznej

W geometrii analitycznej prosta jest opisana równaniem. Najczęściej korzystamy z postaci kierunkowej:

Postać kierunkowa prostej

\[ y = ax + b \]

• \(a\) – współczynnik kierunkowy (określa „nachylenie” prostej),
• \(b\) – wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \(y\): \((0,b)\)).

Interpretacja współczynnika kierunkowego \(a\):

• gdy \(a > 0\) – prosta rośnie (idąc w prawo, idziemy w górę),
• gdy \(a < 0\) – prosta maleje (idąc w prawo, idziemy w dół),
• gdy \(a = 0\) – prosta jest pozioma (równoległa do osi \(x\)).

Postać ogólna prostej

Często spotykamy też postać ogólną:

\[ Ax + By + C = 0, \]

gdzie nie wszystkie liczby \(A,B,C\) są zerowe.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Jeżeli znamy dwa punkty \(A(x_1,y_1)\) i \(B(x_2,y_2)\) (i \(x_1 \neq x_2\)), to:

1. obliczamy współczynnik kierunkowy:
   \[
   a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1},
   \]
2. podstawiamy do równania \(y = ax + b\) współrzędne jednego z punktów, aby wyznaczyć \(b\).

Przykład – wyznaczanie równania prostej z dwóch punktów

Dane punkty: \(A = (1,2)\), \(B = (3,6)\).

Krok 1: współczynnik kierunkowy

\[
a = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2.
\]

Krok 2: podstawiamy punkt A do równania \(y = 2x + b\):

\[
2 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0.
\]

Zatem równanie prostej:

\[ y = 2x. \]

Proste równoległe i prostopadłe

• Proste równoległe (nie pionowe) mają ten sam współczynnik kierunkowy:
  \[
  y = a x + b_1,\quad y = a x + b_2 \quad \Rightarrow \quad \text{proste równoległe}.
  \]
• Proste prostopadłe (nie pionowe) spełniają:
  \[
  a_1 \cdot a_2 = -1.
  \]
  Przykład: \(y = 2x + 1\) i \(y = -\tfrac12 x + 3\) są prostopadłe, bo \(2 \cdot (-\tfrac12) = -1\).

Prosta pionowa

Prosta pionowa nie ma postaci \(y = ax + b\). Ma równanie:

\[ x = x_0, \]

np. \(x = 2\) oznacza prostą przechodzącą przez wszystkie punkty o współrzędnej \(x = 2\).

Prosty wykres prostej na płótnie (Canvas)

Poniżej przedstawiono prosty wykres prostej \(y = 0{,}5x + 1\) w układzie współrzędnych. Wykres jest rysowany na elemencie <canvas>, a skrypt dopasowuje szerokość płótna do urządzenia (responsywność).

Odcinek: punkt środkowy i podział w zadanym stosunku

Punkt środkowy odcinka

Dla odcinka o końcach \(A(x_1,y_1)\) i \(B(x_2,y_2)\), współrzędne punktu środkowego \(S\) wynoszą:

\[
S\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right).
\]

Przykład – punkt środkowy

Dane: \(A = (2,3)\), \(B = (8,7)\).

\[
S\left(\frac{2+8}{2},\; \frac{3+7}{2}\right) = (5,5).
\]

Podział odcinka w danym stosunku

Załóżmy, że chcemy podzielić odcinek \(AB\) w stosunku \(m:n\) (licząc od punktu A). Wtedy punkt \(P\) dzielący odcinek spełnia:

\[
P\left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n},\; \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right).
\]

Interpretacja: „ważymy” końce odcinka liczbami \(m\) i \(n\). Jeżeli \(m = n\), to otrzymujemy punkt środkowy.

Okrąg w geometrii analitycznej

Okrąg (zbiór punktów w tej samej odległości od środka) o środku \(S(a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie:

\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
\]

Przykład – równanie okręgu

Okrąg o środku \(S = (2,-1)\) i promieniu \(r = 3\):

\[
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.
\]

Rozpoznawanie środka i promienia z równania

Jeżeli równanie okręgu jest już w postaci:

\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
\]

to:

• środek: \(S(a,b)\),
• promień: \(r\).

Często jednak trzeba najpierw przekształcić równanie (np. poprzez uzupełnianie do kwadratu), co wykracza poza podstawowy poziom – ale warto wiedzieć, że takie techniki istnieją.

Najważniejsze wzory – podsumowanie

Jak wykorzystać te wzory w praktyce?

Kilka typowych zadań z geometrii analitycznej i wskazówki:

• Sprawdzenie, czy trójkąt jest prostokątny – oblicz długości trzech boków (odległości między parami punktów). Sprawdź, czy spełniają twierdzenie Pitagorasa:
  \[
  a^2 + b^2 = c^2.
  \]
• Sprawdzenie, czy proste są równoległe lub prostopadłe – wyznacz współczynniki kierunkowe \(a_1\), \(a_2\) i zastosuj warunki:
  \[
  a_1 = a_2 \quad \text{(równoległe)}, \quad a_1 \cdot a_2 = -1 \quad \text{(prostopadłe)}.
  \]
• Sprawdzenie, czy punkt leży na prostej – podstaw współrzędne punktu do równania prostej. Jeżeli powstanie prawdziwa równość, punkt leży na tej prostej.
• Wyznaczenie środka okręgu i promienia – gdy masz postać \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), odczytaj \(a\), \(b\), \(r\).

Najważniejsze w geometrii analitycznej jest umiejętne przechodzenie między obrazem (rysunkiem) a zapisem liczbowym (współrzędne, równania). Gdy nauczysz się widzieć w równaniach linie, punkty i okręgi, wiele zadań stanie się znacznie prostszych.