Wzór na długość odcinka – przykłady z rozwiązaniami

Karol Kucharski 22 stycznia 2026

W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest długość odcinka, jaki jest wzór na długość odcinka w matematyce oraz jak z niego korzystać w praktyce. Zobaczysz wiele przykładów z rozwiązaniami i prosty kalkulator, który pomoże Ci samodzielnie obliczać długość odcinka.

Co to jest odcinek?

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami. Te punkty nazywamy końcami odcinka. Na przykład odcinek o końcach w punktach \(A\) i \(B\) zapisujemy jako \(AB\).

Odcinek:

ma określoną długość,
nie jest nieskończony (w przeciwieństwie do prostej),
może być położony poziomo, pionowo lub ukośnie.

Długość odcinka na prostej liczbowej

Zacznijmy od najprostszego przypadku: punkty leżą na jednej prostej liczbowej (osi liczbowej). Załóżmy, że mamy dwa punkty:

punkt \(A\) o współrzędnej \(x_A\),
punkt \(B\) o współrzędnej \(x_B\).

Długość odcinka \(AB\) obliczamy jako różnicę współrzędnych (bez znaku minus):

\[ |AB| = |x_B – x_A| \]

Znak \(| \cdot |\) oznacza wartość bezwzględną, czyli „odrzucenie” minusa, jeśli wynik byłby ujemny.

Przykład 1 – odcinek na osi liczbowej (pozytywne liczby)

Dane są punkty: \(A(2)\) i \(B(7)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Rozwiązanie:

\[ |AB| = |x_B – x_A| = |7 – 2| = |5| = 5 \]

Długość odcinka \(AB\) wynosi 5 jednostek.

Przykład 2 – odcinek na osi liczbowej (liczby dodatnie i ujemne)

Dane są punkty: \(A(-3)\) i \(B(4)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Rozwiązanie:

\[ |AB| = |x_B – x_A| = |4 – (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \]

Długość odcinka \(AB\) wynosi 7 jednostek.

Zwróć uwagę na nawias: \(4 – (-3)\) zamienia się w \(4 + 3\).

Długość odcinka w układzie współrzędnych (na płaszczyźnie)

Teraz przechodzimy do sytuacji, gdy punkty mają współrzędne na płaszczyźnie, czyli postaci \((x, y)\). Mamy dwa punkty:

\(A(x_A, y_A)\),
\(B(x_B, y_B)\).

Długość odcinka \(AB\) obliczamy ze wzoru:

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Jest to podstawowy wzór na długość odcinka w geometrii na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Skąd się bierze ten wzór? (intuicyjne wyjaśnienie)

Wyobraź sobie, że punkty \(A\) i \(B\) są połączone odcinkiem ukośnym. Możemy zbudować z tego trójkąt prostokątny:

jedna przyprostokątna to różnica współrzędnych w poziomie: \( |x_B – x_A| \),
druga przyprostokątna to różnica współrzędnych w pionie: \( |y_B – y_A| \),
odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego mamy:

\[ |AB|^2 = (x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 \]

Aby dostać długość odcinka, bierzemy pierwiastek obu stron:

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Dzięki temu widzimy, że wzór na długość odcinka to w istocie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych.

Wzór na długość odcinka – zapis ogólny

Podsumujmy:

Na osi liczbowej (1 wymiar):

\[ |AB| = |x_B – x_A| \]

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie (2 wymiary):

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Przykłady długości odcinków w układzie współrzędnych

Przykład 3 – prosty przypadek (dodatnie współrzędne)

Dane są punkty: \(A(1, 2)\) oraz \(B(4, 6)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Krok 1. Oblicz różnice współrzędnych:

\[ x_B – x_A = 4 – 1 = 3 \]

\[ y_B – y_A = 6 – 2 = 4 \]

Krok 2. Podstaw do wzoru:

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} \]

Krok 3. Oblicz:

\[ |AB| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Długość odcinka \(AB\) wynosi 5 jednostek.

Zauważ, że pojawił się tutaj znany trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5.

Przykład 4 – współrzędne ujemne

Dane są punkty: \(A(-2, 3)\) oraz \(B(3, -1)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Krok 1. Oblicz różnice współrzędnych:

\[ x_B – x_A = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5 \]

\[ y_B – y_A = -1 – 3 = -4 \]

Krok 2. Podstaw do wzoru:

\[ |AB| = \sqrt{(5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \]

Nie zawsze wynik będzie „ładną” liczbą naturalną. W tym przypadku:

\[ |AB| = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \]

W zależności od polecenia w zadaniu, możesz zostawić wynik z pierwiastkiem lub podać przybliżenie dziesiętne.

Przykład 5 – odcinek poziomy (szczególny przypadek)

Dane są punkty: \(A(1, 5)\) oraz \(B(7, 5)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Zauważ, że punkty mają tę samą współrzędną \(y\), więc odcinek jest poziomy.

Krok 1. Różnice współrzędnych:

\[ x_B – x_A = 7 – 1 = 6 \]

\[ y_B – y_A = 5 – 5 = 0 \]

Krok 2. Wzór:

\[ |AB| = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \]

Widzimy, że dla odcinka poziomego długość to po prostu różnica współrzędnych \(x\).

Przykład 6 – odcinek pionowy (szczególny przypadek)

Dane są punkty: \(A(-2, -1)\) oraz \(B(-2, 4)\). Oblicz długość odcinka \(AB\).

Punkty mają tę samą współrzędną \(x\), więc odcinek jest pionowy.

Krok 1. Różnice współrzędnych:

\[ x_B – x_A = -2 – (-2) = 0 \]

\[ y_B – y_A = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5 \]

Krok 2. Wzór:

\[ |AB| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Dla odcinka pionowego długość to różnica współrzędnych \(y\).

Zadania z długości odcinka – tabela z przykładami

Poniższa tabela zbiera kilka różnych przykładów obliczania długości odcinka. Zwróć uwagę na różne typy współrzędnych: dodatnie, ujemne, te same współrzędne itp.

Nr	Punkt A \((x_A, y_A)\)	Punkt B \((x_B, y_B)\)	Obliczenia	Długość \(\|AB\|\)
1	\((0, 0)\)	\((3, 4)\)	\(\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16}\)	\(5\)
2	\((1, 2)\)	\((1, 7)\)	\(\sqrt{(1-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{0+25}\)	\(5\)
3	\((-2, 3)\)	\((3, -1)\)	\(\sqrt{(3+2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{5^2+(-4)^2} = \sqrt{25+16}\)	\(\sqrt{41} \approx 6{,}40\)
4	\((-1, -1)\)	\((2, -5)\)	\(\sqrt{(2+1)^2 + (-5+1)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2}\)	\(5\)
5	\((4, 2)\)	\((-2, 2)\)	\(\sqrt{(-2-4)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(-6)^2+0}\)	\(6\)

Typowe błędy przy obliczaniu długości odcinka

Pomylenie kolejności odejmowania.
Wzór zawiera kwadraty, więc \((x_B – x_A)^2 = (x_A – x_B)^2\). Kolejność w praktyce nie ma znaczenia dla wyniku, ale łatwo się pomylić przy samym odejmowaniu (zwłaszcza z liczbami ujemnymi). Zawsze licz różnice powoli i dokładnie.
Brak nawiasów przy liczbach ujemnych.
Gdy podstawiasz liczby ujemne, pamiętaj o nawiasach, np. \((-3)^2\), a nie \(-3^2\).
Zapominanie o pierwiastku.
Po zsumowaniu kwadratów musisz jeszcze wyciągnąć pierwiastek: \(|AB| = \sqrt{\dots}\). Sama suma kwadratów to \(|AB|^2\), a nie długość.
Mylenie długości z różnicą jednej współrzędnej.
Pełny wzór \(\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\) upraszcza się do \(|x_B – x_A|\) lub \(|y_B – y_A|\) tylko wtedy, gdy odcinek jest dokładnie poziomy lub pionowy. W innych przypadkach musisz użyć obu współrzędnych.

Prosty kalkulator długości odcinka (2D)

Poniżej znajduje się prosty kalkulator w JavaScript, który oblicza długość odcinka między dwoma punktami na płaszczyźnie. Wystarczy, że wpiszesz współrzędne punktów \(A(x_A, y_A)\) i \(B(x_B, y_B)\), a kalkulator policzy \(|AB|\) według wzoru:

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Kalkulator długości odcinka

x_A:

y_A:

x_B:

y_B:

Wynik: –

Jak samodzielnie rozwiązywać zadania na długość odcinka?

Podczas rozwiązywania zadań postępuj według stałego schematu:

Zapisz dane z zadania.
Np. \(A(2, -1)\), \(B(-3, 5)\).
Oblicz różnice współrzędnych:
\[ \Delta x = x_B – x_A,\quad \Delta y = y_B – y_A \]
Podnieś różnice do kwadratu i zsumuj:
\[ \Delta x^2 + \Delta y^2 \]
Wyciągnij pierwiastek:
\[ |AB| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \]
Sprawdź, czy wynik jest sensowny.
Czy długość jest dodatnia? Czy zgadza się z przybliżonym „wyobrażeniem” odległości na rysunku (jeśli jest)?

Podsumowanie

Długość odcinka to jedna z podstawowych wielkości w geometrii. Musisz znać i rozumieć wzór na długość odcinka, ponieważ pojawia się on bardzo często – w zadaniach z geometrii, fizyki, a nawet w informatyce.

Na osi liczbowej używamy wzoru: \(|AB| = |x_B – x_A|\).
Na płaszczyźnie (w układzie współrzędnych): \(|AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\).
Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.
Ćwicząc na wielu przykładach, nauczysz się szybko i bezbłędnie obliczać długość odcinka.

Warto samodzielnie wymyślać kolejne punkty (np. z ujemnymi współrzędnymi), obliczać długości odcinków i sprawdzać wyniki, korzystając z kalkulatora umieszczonego wyżej.